Bjelogrlić prvi put je pred kamerama glumio kada je imao 15 godina u filmu Branka Bauera, ‘Boško Buha’, tumačeći lik Save Jovanovića Sirogojna.
Nakon te uloge, nastavlja sa glumačkom karijerom, te je 1984. upisao je Fakultet dramskih umjetnosti u Beogradu, na kojem je diplomirao 1989.
Proslavio se ulogom Slobodana Popadića u seriji ‘Bolji život’. Nakon te uloge, uslijedile su samo neke od uloga u TV seriji ‘Zaboravljeni’ (1990.) i filmovima ‘Crni bombarder’ (1992.), ‘Pun mjesec nad Beogradom’ (1993.), ‘Lijepa sela lijepo gore’ (1996.). Dragan je glumio i u poznatoj reginalnoj seriji ‘Južni vetar’.
Glumac se posljednih godina okušao i kao producent. Prvi film koji je producirao a i u kojem je glumio je ‘Lijepa sela lijepo gore’.
Pored producentske karijere, glumac se pronašao u novim vodama, te se okušao i kao reditelj gdje je režirao film i TV seriju ‘Montevideo, Bog te video!’. Film je ostvario izvarende rezultate, a bio je izabran kao srbijanski kandidat za filmsku nagradu Oscar. Autor je i poznate serije ‘Žigosani u reketu’.
Glumac je u braku sa Majom Bjelogrlić, sa kojom ima dvoje djece, Miu i Alekseja.
(S.B.)
